Glossar
Algorithmus
Anfangsbedingungen
Attraktor
1. Fixpunktattraktor
2. Grenzzyklus- oder periodischer Attraktor
3. Torusattraktor
4. Chaotischer oder seltsamer Attraktor
Autokatalyse
Autopoiese
Bäckertransformation
Belousov - Zhabotinsly - Reaktion
Benard - Instabilität
Boolesche Funktion
Determinismus
Deterministisches Chaos
Differentialgleichung
Dimension
Dissipation
Entropie
Feigenbaum - Kaskade
Fraktal
Irrationale Zahl
Iteration
Iteratives Paradoxon
Katalyse
Kausalität
Komplexe Zahlen
Kontrollparameter
Ljapunov - Zahl
Nicht Linearität
Periodenverdoppelung
Phasenraum
Phasenübergang
Rationale Zahlen
Reduktionismus
Relativitätstheorie
Rückkopplung
Schmetterlingsphänomen
Selbstähnlichkeit
Selbstorganisation
Skaleninvarianz
Synergetik
Unschärfeprinzip
Verhulst Modell
Algorithmus
Als Algorithmen bezeichnet man eindeutig festgelegte mathematische Verfahrensregeln oder -anweisungen, deren Anwendung zur Lösung bestimmter Aufgabenstellungen führt.
Im Rahmen der fraktalen Geometrie wird es dadurch mit Hilfe eines Computers möglich, mathematische Ergebnisse beziehungsweise Prozesse auch optisch darzustellen.
Anfangsbedingungen
In linearen Systemen, wie einem einfachen Pendel, erlaubt die Kenntnis der Anfangsbedingungen eine Vorhersage der Entwicklung.
In nichtlinearen Systemen besteht hingegen aufgrund der laufenden iterativen Wechselwirkung eine deutliche Abhängigkeit von den Anfangsbedingungen.
Gelangt ein solches komplexes System im Rahmen seiner Entwicklung in ein chaotisches Verhalten, dann ist keinerlei Voraussage des Systemverhaltens mehr möglich, da aufgrund der engen Abhängigkeit von den Anfangsbedingungen minimale Änderungen sofort aufgrund der Iteration verstärkt werden und zu einer unvorhersagbaren Entwicklung führen (Schmetterlingsphänomen).
Weiters ist in diesem Zusammenhang zu bemerken, dass nach dem Unschärfeprinzip im Mikrobereich exakte Messvorgänge prinzipiell nicht möglich sind und deshalb nie gleiche Anfangsbedingungen gegeben sind.
Attraktor
Der Begriff ist vom lateinischen Begriff "attrahere" abgeleitet, welcher "anziehen" bedeutet.
Der Phasenraum oder Zustandsraum bietet eine sehr gute Möglichkeit, um das Verhalten komplexer Systeme geometrisch darzustellen.
Ein Attraktor ist eine geometrische Struktur, die das Langzeitverhalten eines nichtlinearen Systems graphisch beschreibt. Er beinhaltet die Information über alle möglichen Zustände, die ein System auf lange Sicht gesehen einnehmen kann.
Weil dieses geometrische Gebilde im Phasenraum die Bahnen eines Systems wie "magnetisch" anzuziehen und in diesen Raum hineinzuziehen scheint, nannten es die Mathematiker Attraktor. Die geometrische Dimension eines Attraktors ist deshalb immer kleiner als die Dimension des gesamten Phasenraums. Anders ausgedrückt, gehört zu jedem Attraktor ein Einzugsbereich, der größer ist als dieser selbst und aus dem alle Zustände des Systems im Laufe der Zeit zum Attraktor hinführen. Von allen denkbaren Anfangsbedingungen aus bewegen sich letztendlich immer alle Orbits auf den Attraktor zu. Die Summe all dieser Zustände wird als Einziehungs- oder Attraktionsbereich bezeichnet.
Um eine geometrische Figur beschreiben zu können, benötigt man auch die Angabe ihrer Dimension. Diese charakterisierende Dimension eines Attraktors ist ein Maß für die Anzahl der Variablen oder Kontrollparameter, die das Verhalten des zugehörigen Systems beschreiben. Je komplexer ein System ist, umso komplexer ist natürlich auch die geometrische Struktur des Attraktors bzw. umso höher ist auch seine Dimension.
Je nach Art und Komplexität eines Systems kann man verschiedene Typen von Attraktoren unterscheiden:
1. Fixpunktattraktor
Die einfachste Form eines Attraktors ist der Fixpunkt. Jedes dynamische System, das langfristig gesehen zur Ruhe kommt, wie etwa ein Pendel mit Reibung, ist mathematisch durch einen so genannten Fixpunkt im Phasenraum charakterisiert.
Unter "idealen" Untersuchungsbedingungen, wo es weder Reibung noch Luftwiderstand gibt, schwingt das Pendel konstant aus seiner Mittellage heraus zum höchsten erreichbaren Punkt, bis sich seine Geschwindigkeit für einen kurzen Augenblick auf Null verringert. Das Rückschwingen zum Fixpunkt erfolgt mit zunehmender Geschwindigkeit, die am höchsten beim Durchlaufen der Mittellage ist. Ohne Energieverlust würde dieses Pendel nicht im Fixpunkt, in der Mittellage des Systems, zur Ruhe kommen. Es würde sich periodisch verhalten und wäre dadurch mit Hilfe des nächsthöheren Attraktors beschreibbar.
Wirkt jedoch, wie bei natürlichen Bedingungen üblich, der Luftwiderstand auf die Pendelbewegung ein, so wird sie mit jeder Schwingung langsamer, bis das Pendel schließlich an einem Punkt in der Mitte, dem Fixpunkt im Phasenraum zur Ruhe kommt.
Egal von welcher Seite man das Pendel anstößt, seine Bahnen laufen schlussendlich immer auf den Fixpunkt zu.
Die Dimension für den Phasenraum eines Pendelsystems ist zwei, die Dimension für den entsprechenden Fixpunktattraktor beträgt Null.
2. Grenzzyklus- oder periodischer Attraktor
Etwas komplexere Systeme sind durch einen Grenzzyklusattraktor beschreibbar. Er charakterisiert geometrisch die dynamischen Abläufe in einem Phasenraum als eine geschlossene Kurve, entweder als Kreis, als Ellipse oder als eine, zu einem Ring gebogene Schraubenlinie.
Komplexe Systeme mit einem periodischen Verhalten sind in der Natur allgegenwärtig. Meist sind solche periodische Systeme auch noch miteinander gekoppelt. Solche Systeme sind zum Beispiel alle Raubtier-Beutezyklen.
Anschauungsbeispiel:
Wird in einem Gewässer die Anzahl der Forellen aus irgendeinem Grund geringer, so geht auch die Zahl der Hechte zurück, weil dadurch ihr Nahrungsangebot geringer wird. Die kleinere Hechtpopulation wiederum ermöglicht eine Zunahme der Forellen. Ein Zyklus, der sich laufend periodisch in Variation wiederholt.
Eine bemerkenswerte Fähigkeit eines solchen Systems ist seine dynamische Stabilität. Auch nach wiederholten kleinen Störungen bzw. Fluktuationen kehrt das System immer in sein ursprüngliches Gleichgewicht zurück. Auch wenn man zusätzlich einige Forellen oder Hechte in den Teich gibt, wird sich dadurch der periodische Attraktorzustand rasch wieder einstellen.
Ein solcher Attraktor besitzt die Fähigkeit, mit Hilfe des Phänomens der Rückkopplung kleine Schwankungen und Störungen im funktionellen Ablauf des Systems zu dämpfen und damit einer Veränderung des Systemzustandes zu widerstehen.
In der uns umgebenden Natur gibt es eine Vielfalt sich wandelnder Systeme, die aber trotz ihrer zum Teil heftigen Dynamik einen stabilen Grenzzyklusrahmen besitzen. Auch das Zusammenkoppeln verschiedener dynamischer Systeme, die durch Grenzzyklusattraktoren beschreibbar sind, zu einem höhergradigen komplexen System ist möglich. Dies hat aber zur Folge, dass sich eventuell auch ein neuer, funktionell übergeordneter Grenzzyklusattraktor herausbildet.
Die Dimension für den Phasenraum eines solchen Systems beträgt zwei, die Dimension des Grenzzyklusattraktors, die sich in Form eines geschlossenen Kreises ausdrückt, eins.
3. Torusattraktor
Eine höher komplexe Form eines Attraktors ist ein so genannter Torus. Er ist geometrisch beschrieben als eine Fläche. die über ein Gebilde, ähnlich der Form eines Rettungsringes, gelegt erscheint.
Will man den Zustand eines solchen komplexen Systems, welches möglicherweise durch das Zusammenwachsen mehrerer einfacher Systeme entstanden ist beschreiben, so kann man dies dadurch tun, dass man mathematisch einen Punkt definiert, der sich auf der zweidimensionalen Oberfläche eines dreidimensionalen Torus-Attraktors bewegt. Diese oszillierenden Schwingungen dynamischer Funktionsabläufe kann man demnach als eine Linie verstehen, die in einem periodischen Ablauf um den Torus läuft.
Ergibt das Zusammenkoppeln mehrerer einfacher dynamischer Systeme unter der Ägide eines Torus-Attraktors eine Situation, bei der die Perioden der miteinander verkoppelten Systeme in einem einfachen Verhältnis zueinander stehen, dann passen die sich um die Torus-Oberfläche windenden Punkte genau zusammen. Ihre Orbits laufen immer ineinander, was die strenge Periodizität der beiden gekoppelten Systeme belegt. Ein einfaches Verhältnis wird mathematisch durch so genannte rationale Zahlen (z. B. doppelt, dreifach oder halb so groß) ausgedrückt.
Ist das Verhältnis der Perioden miteinander gekoppelter Oszillationen nicht einfach, sondern folgen sie irrationalen Verhältniszahlen, dann werden die über die Torus-Oberfläche laufenden Linien nie sich selbst treffen.
Da sie zwar auf den ersten Eindruck beinahe periodisch aussehen, es aber nicht wirklich sind, nennt man sie quasiperiodisch.
Ein irrationales Verhältnis wird ausgedrückt durch irrationale Zahlen. Es gibt eine unglaublich große Anzahl von rationalen Zahlen, die Anzahl an irrationalen Zahlen ist aber noch wesentlich größer.
Die daraus resultierende große Vielfalt quasiperiodischer Systeme ist aus verschiedensten Systembereichen bekannt.
Verändert man in einem solchen System den Wert eines Kontrollparameters, so kann der bisher quasiperiodische Ablauf an einem bestimmten Abzweigungspunkt in den Zustand eines so genannten deterministischen Chaos kippen.
Alle bisher dargestellten Attraktorformen erlauben trotz ihrer zum Teil beträchtlichen Komplexität langfristig eine Vorhersagbarkeit, während dies bei der nächsten Stufe, dem chaotischen Attraktor, nicht mehr möglich ist.
Auch quasiperiodische Attraktoren erlauben trotz ihrer Komplexität diese langfristige Vorhersagbarkeit, da trotz irrationalen Verhältnisses der Frequenzen ihre nahe beieinander, über die Torus-Oberfläche laufenden Trajektorien sehr nahe nebeneinander bleiben.
4. Chaotischer oder seltsamer Attraktor
Chaotische Attraktoren haben eine wesentlich komplexere geometrische Struktur als die bisherigen, in ihrem Langzeitverhalten vorhersagbaren Attraktorformen.
1963 beschrieb E. Lorenz anhand eines Wettermodells mit drei Freiheitsgraden den ersten chaotischen Attraktor, den "Lorenz-Attraktor".
Lorenz entdeckte einen zentralen Mechanismus seltsamer Attraktoren. Mikroskopische, unbedeutend erscheinende VerÄnderungen werden durch Iteration verstärkt und lassen damit die makroskopische Entwicklung eines komplexen Systems unvorhersagbar werden.
So laufen zwei Orbits mit verwandten Ausgangsbedingungen mit der Zeit qualitativ völlig anders als bei den nicht chaotischen Attraktoren, wo benachbarte Orbits beieinander bleiben, kleine Störungen toleriert werden und das langfristige Verhalten vorhersagbar bleibt. Bei chaotischen Attraktoren hingegen streben die Orbits exponentiell auseinander. Um die geometrische Struktur eines chaotischen Attraktors verstehen zu können, muss man wissen, dass es im Phasenraum eines chaotischen Systems zu einem ungewöhnlichen Verhalten kommt. Einerseits laufen die benachbarten Orbits exponentiell auseinander - man sagt, sie werden "gestreckt - da aber der Attraktor in seiner Dimension umschrieben und endlich begrenzt ist, kann auch das Auseinanderstreben der Orbits nur lokal begrenzt erfolgen. Der Attraktor ist also gezwungen, sich auf sich selbst "zurückzufalten".
Durch diese beiden, sich andauernd wiederholenden gegenpoligen Schritte der exponentiellen Streckung und der begrenzenden Rückfaltung entstehen ständig Falten in Falten - ad infinitum. Das hat zur Folge, dass anfangs nahe beieinander liegende Orbits enorm divergieren. Irgendwann werden sie vielleicht, ähnlich der Ausgangssituation, wieder nahe beieinander laufen, doch ist der genaue Ort und die genaue Zeit dieses Geschehens nicht vorhersagbar. Dieses Strecken und Falten eines chaotischen Attraktors verändert - im Gegensatz zu den anderen Attraktorformen - ständig die Anfangsinformation und erzeugt eine neue, die wiederum als Anfangsbedingung für die kommenden Iterationsschritte genommen wird. Da das systemimmanente Strecken und Falten kleine Unterschiede groß werden lässt (Schmetterlingsphänomen) und das Falten weit entfernte Orbits wieder nahe aneinander bringen kann, ist eine exakte Vorhersage der Zukunft unmöglich. Dies beinhaltet auch, dass es bei chaotischem Systemverhalten keinen linearen kausalen Zusammenhang zwischen Vergangenheit und Zukunft geben kann.
In chaotischen Attraktoren können auch fraktale Muster erkannt werden, weil sich durch das Strecken und Falten einerseits zwar immer neue, gleichzeitig aber auch immer wieder ähnliche Muster ausbilden. So mischt der chaotische Attraktor die Orbits im Phasenraum, ähnlich wie ein Bäcker seinen Teig knetet (Bäcker-Transformation).
Die Dimension des ersten und bekanntesten chaotischen Attraktors, des Lorenz-Attraktors ist 2,06... Diese irrationale Zahl charakterisiert als fraktale Dimension diesen Attraktor.
Autokatalyse
Autokatalyse ist eine Grundbedingung für die Existenzfähigkeit sich selbst organisierender Systeme.
Dies bedeutet, dass etwa hei einem chemischen Reaktionssystem wie der oft zitierten Belousov - Zhabotinsky - Reaktion bestimmte Moleküle an jenen., im System ablaufenden Reaktionen teilnehmen, bei denen sie an der Bildung von Molekülen ihrer eigenen Art beteiligt sind oder über einen Umweg zuerst zur Bildung anderer Moleküle beitragen, wodurch dann die Neubildung von Molekülen der eigenen Art möglich wird. Dieser Umweg wird als Cross-Katalyse bezeichnet.
Ein solches "auto- oder cross-katalytisches Verhalten" verläuft nicht linear und iterativ.
Autopoiese
Dieser griechischstämmige Begriff bedeutet Selbsterneuerung oder Selbsterschaffung. Er wurde von Maturana und Varela für die Beschreibung einer wesentlichen Eigenschaft dissipativer Systeme verwendet. Er umschreibt die Fähigkeit lebender Systeme, sich ständig selbst zu erneuern und diesen Prozess so zu regeln, dass die Integrität der Systemstruktur erhalten bleibt.
Eine Zelle als typisches Beispiel eines autopoietischen Systems erneuert laufend seine Moleküle in einem dynamischen Wechselspiel anabolischer und katabolischer Reaktionsketten. Grundbedingungen dafür sind teilweise Offenheit des Systems gegenüber seiner Umweltsituation, die Fähigkeit zu autokatalytischer Verstärkung bestimmter Abläufe und ein energetischer Systemzustand fern von einem thermodynamischen Gleichgewicht. Der Begriff Autopoiese beinhaltet jene grundlegende Flexibilität und Komplementarität von Struktur und Funktion eines Systems, die als Basis einer dynamischen Beziehungsfähigkeit Selbstorganisation erst ermöglicht.
Bäckertransformation
Der Vorgang des Teigdurchmischens, den ein Bäcker durch Auseinanderziehen und wieder Zusammenfalten des Teiges wiederholt durchführt, beschreibt anschaulich ein mathematisches Verfahren, welches als Bäcker-Transformation bezeichnet wird.
Dieser mathematischen Regel gehorchen die dynamischen Abläufe in nichtlinearen Systemen. Befindet sich ein solches System in einem chaotischen Zustand, dann werden - abhängig von den Anfangsbedingungen - die das Systemverhalten beschreibenden Trajektorien exponentiell auseinanderstreben und an den Systemgrenzen wieder rückkoppelnd zurückgefaltet werden. Den Ablauf dieses iterativen, im Detail unvorhersagbaren Prozesses, beschreibt die Bäcker-Transformation.
Belousov - Zhabotinsly - Reaktion
Diese nach ihren Erstbeschreibern benannte chemische Reaktion wird als klassisches Musterbeispiel für ein komplexes dissipatives System angegeben.
Bei dieser Reaktion wird Zitronensäure durch Kalziumbromat-Ionen in schwefeliger Säure in Gegenwart von Cer-Ionen, die als Katalysator wirken oxydiert. Alle Ausgangssubstanzen werden dem Reaktionsprozess ständig zugeführt. Durch Zugabe eines Farbstoffes, welcher in Abhängigkeit von der Konzentration und vom aktuellen Ladungszustand der Cer-Ionen seine Farbe wechselt, kann man die Konzentrationsschwankungen und damit die Änderungen des Systemzustandes (Phasenübergang) direkt sichtbar machen.
Lässt man diese Reaktion in einer flachen Schale ablaufen, so entstehen spiralenförmige oder konzentrische Wellen, die Interferenzmuster ausbilden. In diesem nicht linearen komplexen System, das man auch als "chemische Uhr" bezeichnet, lassen sich in sehr regelmäßigen Abständen Oszillationen beobachten, die aufgrund der chemischen Interaktion als farbenprächtige dynamische Wellen und Muster erscheinen.
Benard - Instabilität
Zwar konnte bereits 1900 H. Benard durch ein von ihm durchgeführtes Experiment das Prinzip der Selbstorganisation in komplexen dissipativen Systemen beschreiben, doch gelang erst später die Erklärung mit Hilfe des zugrunde liegenden Phänomens der Nichtlinearität.
Durch Erhitzen von Wasser entsteht nach einem spezifischen Phasenübergang aus den "chaotischen" Molekülbewegungen ein Ordnungszustand, welcher sich beim Blick von oben als "bienenwabenartiges" Muster darstellt.
Bei diesem Experiment wird auf eine saubere Glasplatte mit Rand Flüssigkeit gegeben und diese erhitzt. Vor dem Erhitzen wirkt die Flüssigkeit ruhig, obwohl mikroskopisch eine mehr oder weniger regellose Bewegung der Moleküle vorliegt. Wird Wärmeenergie durch Erhitzen zugeführt, so baut sich senkrecht durch die Flüssigkeit eine Temperaturdifferenz auf. Bis zu einem bestimmten kritischen Punkt der Temperaturdifferenz bleibt die Flüssigkeit für das menschliche Auge ruhig.
Vor diesem kritischen Punkt bewegt sich die Hitze aufgrund der Wärmeleitung durch die Flüssigkeit, nach diesem kritischen Punkt setzt Wärmekonvektion ein, die bewirkt, dass wärmere, spezifisch leichtere "Wasserballen" vom Grund der Flüssigkeit durch die darüber liegende, kühlere und dichtere Flüssigkeit aufsteigen. Das überschreiten dieses kritischen Punktes ist gleichzusetzen mit dem sichtbaren überschreiten eines Bifurkationspunktes (Phasenübergang).
Parallel dazu organisiert sich ein "bienenwabenartiges Muster", welches aufgrund des nichtlinearen Wechselspiels von Wärmediffusion, Auftrieb und Reibungskräften entsteht.
Eigentlich wäre zu erwarten, dass mit zunehmender Wärmezufuhr die Moleküle in immer regellosere Bewegung geraten, doch entsteht mit dem "Bienenwabenmuster" ein höher geordneter Zustand als er vor dem Beginn der Wärmezufuhr bestand. Die entstandenen sechseckigen Konvektionszellen bestehen aus unzählbaren Mengen von Molekülen, die sich selbstorganisatorisch über "riesige Abstände" zu solch komplexen Mustern koordinieren. Solange eine bestimmte Temperaturdifferenz gehalten wird, besteht dieser Zustand weiter. Der Systemzustand wird aufrechterhalten durch die Dissipation der Energie.
Sicher und damit deterministisch ist, dass nach überschreiten des Abzweigungspunktes Konvektionszellen entstehen. Unvorhersagbar im Sinne von Chaos ist aber die Richtung, in der die Flüssigkeit in diesen Zellen rotiert. Die Entscheidung darüber liegt verborgen in unkontrollierbaren mikroskopischen Fluktuationen am Beginn der Konvektion.
Boolesche Funktion
Dieses mathematische Modell ist benannt nach dem Begründer eines algebraischen Zugangs zur Logik, George Boole, der in der ersten Hälfte des 19. Jahrhunderts lebte.
Mit Hilfe dieses Modells kann man idealisierend jedes einzelne Element eines komplexen Systems als eine einfache binäre Variable beschreiben, d.h. jedes Element kann einen Zustand "inaktiv" (= 0) oder "aktiv" (= 1) annehmen.
Um jedoch die Beziehungen der einzelnen Elemente zueinander beschreiben zu können, verwendet man eine Klasse von Systemen, die als "Boole'sches Netzwerk" bezeichnet wird.
In einem solchen Netzwerk beeinflusst das Verhalten jeder einzelnen Variablen aufgrund ihrer so genannten Eingänge (Inputs) das Verhalten der anderen Variablen.
St. Kaufmann, der das Prinzip der Selbstorganisation in lebenden Systemen untersucht, verwendet dazu mathematisch idealisierte biologische Systeme, die man als autonome "Boole'sche NK-Zufallsnetzwerke" bezeichnet. Autonom deshalb, weil kein Input von außerhalb des Systems kommt. "N" steht für die Zahl der Systemelemente und "K" für die Anzahl der Eingänge. Alle Netzwerke mit gleichem "N" und "K" bilden eine Klasse mit derselben Struktur.
Aus dem Aktivitätszustand der Elemente ergibt sich ein Aktivitätszustand des Netzwerkes.
Die Boolesche Funktion ermöglicht es jedem Element, die Aktivitätszustände seiner Eingänge zu bewerten und daraus den Aktivitätszustand für den nächstfolgenden Schritt eindeutig zu berechnen. Die Abfolge dieser Aktivitätszustände bezeichnet man als "Trajektorie des Netzwerkes". Dieses Netzwerkmodell kann mit den Vorgängen in komplexen Systemen gleichgesetzt werden.
Boole'sche Netzwerke können nie eine unendlich große Zahl von Aktivitätszuständen einnehmen. Jedes System muss irgendwann einmal in eine früher eingenommene Ausgangslage zurückkehren. Damit sind sie als deterministisch anzusehen.
Der Zustand eines Netzwerkes ist durch mindestens einen Zyklus charakterisiert. Er kann aber auch durch mehrere Zustandszyklen, und meist ist es auch so, charakterisiert sein. Befindet sich nun das komplexe System eines Netzwerkes in einem bestimmten Zustandszyklus - geometrisch charakterisiert durch einen speziellen Attraktor - so kann man es in diesem Zustandsraum unter den gegebenen Bedingungen als stabil ansehen.
Kaufmann meint, dass auch ein stabiles Netzwerk ständig seine "Trajektorie" und damit sich selbst verändern kann, und zwar entweder durch "minimale" oder durch "strukturelle" VerÄnderungen. Bei einer minimalen Störung wird ein einzelnes Element in den entgegen gesetzten Aktivitätszustand versetzt.
Das System kann bei dieser geringfügigen Irritierung sowohl im bisherigen Attraktorbereich bleiben oder es kann seine "Trajektorie" auf Dauer ändern und in einen anderen Zustandszyklus fallen. Dies bedeutet, dass die Empfindlichkeit von Attraktoren gegenüber minimalen Störungen äußerst unterschiedlich sein kann, abhängig vom Grad der Stabilität bzw. Instabilität eines Systemzustandes.
Eine strukturelle Veränderung hingegen würde eine dauerhafte änderung, entweder in der vernetzten Struktur oder in der Boole'schen Funktion des Systems bewirken. Auch diese Art der Veränderung kann je nach Stabilitätsgrad des Systems zu einer sehr unterschiedlichen Reaktion führen, und zwar sowohl zu einem Umschlag von einem chaotischen Systemzustand in einen sehr geordneten als auch umgekehrt.
Anschauungsbeispiel:
Nehmen wird an "K = N", was bedeutet, dass die Anzahl der Inputs für jedes Element gleich ist der gesamten Zahl aller Elemente dieses Systems. Dies würde heißen, dass jedes Element mit jedem verknüpft ist und dass der Systemzustand völlig ungeordnet und chaotisch ist.
Ein solches System wäre extrem empfindlich gegen jede minimale änderung seiner Anfangsbedingungen, da sich jede Störung fast augenblicklich über das gesamte System ausbreiten würde.
Ein weiteres Kennzeichen solcher chaotischer Systeme ist es, dass mit zunehmender Anzahl der Elemente auch die Länge der Zustandszyklen exponentiell wächst.
Diese "K=N - Systeme" zeigen jedoch auch eine überraschende Ordnung. Es ist nämlich die Anzahl der Zustandszyklen auffallend gering.
Ihre Anzahl ergibt sich aus der Anzahl der Systemelemente, geteilt durch "e" (e = 2.7182818... = die Basis der natürlichen Elemente).
In einem System mit 200 Elementen etwa wären demnach ungefähr 74 verschiedene mögliche Verhaltensmuster zu erwarten. Dazu kommt noch, dass über zwei Drittel aller möglichen Muster überraschenderweise in nur eine sehr geringe Anzahl von Einzugsbereichen hineinfallen.
Da aber ein Attraktor umso stabiler ist, je größer sein Einzugsbereich, d. h. je höher die Anzahl der Zustände ist, die in ihn einmünden, so ist anzunehmen, dass ein Attraktor mit einem längeren Zyklus, der wahrscheinlich mehr Zustände an sich zieht, stabiler ist als ein solcher mit einem kurzen Zyklus.
Diese charakterisierenden Eigenschaften von "K=N - Netzwerksystemen" findet man auch dann noch, wenn "K" als Ausdruck der Anzahl der Eingänge pro Element bis auf drei reduziert wird. Ab der Eingangszahl zwei (K=2) kommt es jedoch zu einem unerwarteten Sprung.
Die Systeme zeigen plötzlich eine spontane Ordnung. Die Attraktoren von K = 2 - Systemen sind gegenüber minimalen Störungen stabil, und sie werden auch nur unwesentlich durch strukturelle VerÄnderungen in ihrem Verhalten beeinflusst.
Netzwerke mit nur einem Eingang pro Element (K=1) bilden ein eigenes, sehr geordnetes System.
Ein komplexes System oder Netzwerk mit 100.000 Elementen mit jeweils zwei Eingängen pro Element (K = 2) kann die unvorstellbare Zahl von etwa 10 hoch 30 000 unterschiedliche Zustände annehmen.
Trotz dieser potentiell chaotischen Verwirrung entsteht und besteht jedoch Ordnung.
Dieses hochkomplexe System gelangt aus seinem Anfangszustand im Laufe der Zeit in einen von etwa 370 Zustandszyklen.
In solch geordneten Systemverhältnissen, wo es nur zwei oder weniger Inputs pro Element gibt, ist also die Empfindlichkeit gegenüber den Anfangsbedingungen gering. Anders als bei chaotischen Abläufen kommt es zu einem Konvergieren auf bestimmte Folgezustände.
In solchen Systemen sind die Attraktoren gegenüber minimalen Beeinflussungen widerstandsfähig und stabil, in der Regel gilt dies auch gegenüber strukturellen Störungen.
Die Erklärung für die Ordnung solcher Systeme ist in der Existenz eines so genannten "gefrorenen Kerns" begründet.
Kaufmann beschreibt die "gefrorenen Kerne" als "einen Teilbereich von miteinander verbundenen Elementen, die sich durch ihre Wechselwirkung gegenseitig in einem praktisch unveränderlichen Zustand festhalten".
"Gefrorene Kerne" neigen dazu, im Laufe der Zeit anzuwachsen, um sich zu stabilisieren. Zwischen den "Wänden" des "gefrorenen Kerns" befinden sich zwar viele Zonen der Veränderung, die jedoch funktionell voneinander isoliert sind und dadurch keine Veränderung des Gesamtverhaltens eines Systems bewirken können. Die Bewegungen in den "Zonen der Veränderung" sind nur lokal und zerstören nicht die Ordnung des Systems als Ganzes.
Eine geringe "Konnektivität" kann also ausreichen, damit aus einem ungeordneten Booleschen System geordnetes Verhalten entsteht.
Überraschenderweise gibt es aber auch die Möglichkeit, dass bei hoher "Konnektivität" der Elemente Ordnung entsteht. Dies ist möglich, wenn eine gewisse Asymmetrie in den "Boole'schen Schaltfunktionen" besteht, weil zum Beispiel manche ihrer Elemente öfter ein- als ausschalten.
Wenn der Grad der Asymmetrie einen kritischen Wert überschreitet, kommt es spontan zu einem Zusammenwachsen so genannter "gefrorener Kerne" und damit ebenfalls zur Stabilisierung eines dynamischen Systems.
Liegt der Grad der Asymmetrie aber deutlich unterhalb eines kritischen Wertes, wie dies in chaotischen Systemzuständen der Fall ist, dann gewinnen minimale Störungen durch ihr Einwirken auf die sich ständig ändernden Elemente einen unvorhersehbaren System ändernden Einfluss. Dies ist deshalb möglich, weil im komplexen Gesamtsystem nur wenige beziehungsweise kleine "gefrorene Kernteile" schwimmen.
Ein flexibles und Zielführendes Systemverhalten ist nicht nur in hochgradig chaotischen Systemnetzwerken kaum möglich, sondern es ist auch in hoch geordneten Systemnetzwerken nicht gegeben, hier aber, weil sie "zugefroren" sind, sodass nur starres und stereotypes Verhalten möglich ist.
Erst in einem Bereich des Phasenüberganges, wenn etwa die Asymmetrie in einem geordneten Netzwerk bis zu einem kritischen Wert absinkt und "gefrorene Kerne" aufzutauen beginnen, wird die Steuerung komplexer Abläufe in befriedigend kreativer Weise möglich.
Solche "Übergangszustände" beinhalten durch die chaotische Unzahl von Möglichkeiten eine hohe kreative Flexibilität. Sie gelten als Ausgangspunkt für die Entwicklung und schließlich Erprobung neuer zielführender Varianten des Verhaltens.
Da ein dynamisches System immer die Neigung zu Stabilitätsfindung besitzt, haben die meisten denkbaren Varianten keinen oder nur einen sehr geringfügigen Einfluss auf einen bestimmten Systemzustand. Nur ganz wenige Einflüsse lösen unter entsprechenden Systembedingungen größere Kaskaden an VerÄnderungen aus. Andererseits ist es aber auch klar, dass nur Systeme die sich in einem Grenzbereich zwischen Ordnung und Chaos befinden, beziehungsweise sich darauf einlassen, eine Chance haben sich in befriedigender Weise an veränderte Umgebungs- bzw. Rahmenbedingungen anzupassen.
Ihre potentielle kreative Möglichkeit zur Veränderung schlummert in den Phasenübergängen.
Determinismus
Unter Determinismus versteht man die philosophische Auffassung, dass sämtliche Prozesse bis zum letzten Detail gesetzmäßig bestimmt ablaufen.
Deterministische Theorien dominieren in der Philosophiegeschichte seit den griechischen Naturphilosophen. Mit der Etablierung der Newton'schen Physik und den Vorstellungen von Descartes bestimmt das mechanistische Weltbild bis in die heutige Zeit die wissenschaftliche Denkweise.
Trotz der gravierenden Einwände von Seiten der Quantenmechanik des 20. Jahrhunderts und insbesondere aufgrund des Heisenberg'schen Unschärfeprinzips und der Forschungsergebnisse aus dem Bereich des deterministischen Chaos ist die stillschweigende Anwendung des Determinismus weiterhin die Grundvoraussetzung der traditionellen wissenschaftlichen Forschung.
Deterministisches Chaos
Dieses Begriffspaar erscheint widersprüchlich und paradox, da es einerseits das potentiell chaotische, unvorhersagbare Verhalten eines nichtlinearen komplexen Systems beschreibt, andererseits aber auch die deterministische Gesetzmäßigkeit des Ablaufes dynamischer Prozesse wie auch ihre mathematische Darstellung beinhaltet. Das Begriffspaar vereint scheinbar paradoxe Begriffe und will dadurch deutlich machen, dass "Ordnung" und "Chaos" einander bedingen, beziehungsweise ineinander verborgen sind, sodass man vielleicht verständlicher von einer "Theorie von Ordnung und Chaos" sprechen sollte.
Die beiden miteinander verbundenen Begriffe scheinen wie Fahnenträger der Chaostheorie aufzeigen zu wollen, dass sich scheinbare Widersprüche auflösen, weil sie keine sind.
Faszinierende Belege für "Ordnung" im "Chaos" und "Chaos" in "Ordnung" sind chaotische Attraktoren und fraktale Muster.
Differentialgleichung
Die mathematische Beschreibung der dynamischen Entwicklung nichtlinearer Systeme erfolgt über Differentialgleichungen. Dabei werden die einzelnen Größen oder Variablen mit ihren jeweiligen Änderungsraten verknüpft. Die Änderung einer Größe wiederum ist definiert als die Differenz des Wertes, den die Größe an nahe bei einander liegenden Stellen einnimmt.
Die Lösung von Differentialgleichungen kann unterschiedlich sein. Eine Lösungsmöglichkeit ist die Beschreibung in mathematischen Funktionen, wie etwa einer sinusförmigen Schwingung. Manche Lösungen lassen sich - dies ist aber eher die Ausnahme - durch die mathematische Umkehroperation der "Integration" finden.
Viele Lösungen lassen sich nur durch Ausprobieren und durch das Verwenden bereits bekannter Lösungen ähnlicher Probleme herausfinden. Für diesen Zweck finden Computerprogramme Verwendung.
Eine bekannte Differentialgleichung, die für die Berechnung des Populationswachstums und in modifizierter Form auch in anderen Bereichen Anwendung findet, ist das so genannte Verhulst - Modell.
Dimension
Um eine geometrische, euklidische oder fraktale Figur beschreiben zu können, benötigt man die Angabe ihrer Dimension. Sie gibt an, wie viele Kontrollparameter notwendig sind, um die Struktur vollständig zu charakterisieren.
Alltagsvertraut sind ein-, zwei- und dreidimensionale Strukturen, denen wir Linie, Fläche und Raum zuordnen. Einem Punkt kommt eine Null-Dimension zu.
Die Dimension eines Objektes lässt sich einfach mit Hilfe des Skalierungsgesetzes a = sD berechnen.
Unterteilt man eine Strecke in drei gleiche Teile, so ist die gesamte Strecke dreimal so lang wie jedes Teilstück. Unterteilt man die Fläche eines Quadrats in gleich große Stücke, indem man die Seitenlänge dreimal so lang sein lässt wie die Länge eines Teilquadrats, dann erhält man 32, also 9 Teile. Bei einem Würfel erhält man bei dieser Vorgangsweise a=33, also 27 gleich große Teilwürfel.
Man erhält also die Dimension eines Gebildes, indem man - wie am obigen Beispiel demonstriert - die einzelnen Objekte regelmäßig unterteilt und eine Beziehung herstellt zwischen der Anzahl der Unterteilungen "a" und dem Skalierungsfaktor "s", der jedes Teilstück in das Ganze überführt.
Auch bei einigen klassischen Fraktalen, wie der Cantor-Menge, der Koch-Kurve und dem Sierpinsky-Dreieck kann man die gebrochene oder fraktale Dimension leicht berechnen. Wie in der Abbildung ersichtlich, unterteilt man auch hier die Objekte in gleich große Teile und verknüpft nach dem Skalierungsgesetz a = sD die Anzahl der Teilstücke "a" mit dem Skalierungsfaktor "s". Löst man diese Gleichung durch Logarithmieren nach auf, so ergibt sich die Dimension des jeweiligen Gebildes als Quotient zweier Logarithmen: D = log a / log s.
Diese Gleichung gilt sowohl für Gebilde der euklidischen Geometrie, als auch für fraktale selbstähnliche Objekte.
Die gebrochene Dimension von Fraktalen stellt eine ganz zentrale Eigenschaft von selbstähnlichen Gebilden dar. Die Dimension ist ein Maß für die "Zerklüftung" eines Fraktals. Die Koch'sche Kurve etwa ist weder eine klare Linie noch eine klare Fläche. So liegt ihre Dimension 1,2618... "gebrochen" zwischen den ganzzahligen Dimensionen von Linie und Fläche.
Auch Attraktoren werden über eine Dimension definiert und beschrieben. Hier ist die Dimension auch ein Maß dafür, wie viele Kontrollparameter das Verhalten des Systems definieren, das sich auf dem Attraktor "bewegt". Die Dimension des Lorenz-Attraktors etwa beträgt 2,06....
Dissipation
Stabile Systeme fern von einem thermodynamischen Gleichgewicht, können ein großes Maß an Ordnung zeigen, auch wenn sie unzählbar viele Moleküle in Raum und Zeit zu koordinieren haben, wie etwa die Luftschichten der Erde.
Solche Systeme bezeichnet Prigogine als dissipative Strukturen, weil sie:
1. laufend Energie von ihrer Umgebung zugeführt erhalten bzw. abgeben und
2. die innerhalb des Systems produzierte Entropie an die Umgebung abgeben.
Die komplexe und sich wechselseitig bedingende Organisationsstruktur dieser offenen dissipativen Systeme unterliegt der Selbstorganisation.
Würde der Energiefluss aufhören, käme es sofort zum thermodynamischen Gleichgewicht. Das System wäre dann tot. Ein Mensch würde sich unter den Voraussetzungen eines sofort eintretenden thermodynamischen Gleichgewichtes augenblicklich in ein Rauchwölkchen, Asche und Wasserdampf auflösen. Erst das thermodynamische Nichtgleichgewicht komplexer dissipativer Systeme erlaubt es, dass über das Prinzip der Selbstorganisation Zellen, Organe, Menschen und kreative Leistungen entstehen.
Entropie
Der komplexe Begriff der Entropie gilt als Maß für jenen Teil der Energie eines komplexen Systems, welcher nicht frei verfügbar ist, also nicht in Arbeit umgesetzt wird, auch nicht im gerichteten Fluss der Energie.
Die Entropie ist zum Beispiel darin erkennbar, dass die Umwandlung von Wärme in einem Kraftwerk beschränkt ist und bleibt. Moderne Kraftwerke erreichen etwa einen Wirkungsgrad von 40-45 %, der Rest geht als Wärme in Wasser oder Luft. In diesem Fall ist Entropie also ein Maß für den auftretenden Energieverlust in einem komplexen dissipativen System.
Die Erfahrung lehrt uns, dass komplexe Systeme einem laufenden Wandel unterworfen sind. Systemzustände bestehen unterschiedlich lange, bis sie sich abschwächen und zerfallen. Jedes dynamische System erzeugt Entropie, was bedeutet, dass die Dynamik aller Systemprozesse in der Zeit gerichtet ist und dass diese Entwicklung mit der Erzeugung von Entropie gekoppelt ist.
Wären Systeme - was nicht der Realität entspricht - von der Umgebung abgeschlossen, dann könnte die erzeugte Entropie nicht nach außen abgegeben werden. Dies würde zu einem raschen Systemtod führen.
Der offene Systemcharakter aller komplexen Systeme kann zwar diesen zeitgerichteten Ablauf nicht verhindern, doch ist eine prinzipielle Beeinflussung in Richtung Beschleunigung bzw. Verlangsamung dieses Prozesses möglich. Als anschauliches Beispiel kann in diesem Zusammenhang die Klimasituation unseres Planeten dienen.
L. Boltzmann interpretierte diese Zunahme der Entropie als Evolution auf einen "wahrscheinlichsten" Zustand maximaler Unordnung und Desorganisation hin, was damals und zum Teil auch heute noch als drohender "Wärmetod" der Welt interpretiert wurde. Aufgrund dieser Gerichtetheit erhielt der Zeitbegriff eine eindeutige Richtung, nämlich von der Vergangenheit in die Zukunft.
Im Gegensatz zu der Situation bei isolierten Systemen wird bei offenen dissipativen Systemen laufend freie Energie aus der Umgebung importiert und Entropie exportiert. Die Erzeugung von Entropie im System und der Export von Entropie nach außen stehen in einem dynamischen Wechselspiel.
Da durch Verbrauch und Abgabe von zuviel Energie letztendlich ein Nullwert entstehen würde, ist für die Aufrechterhaltung eines stabilen und flexibel adaptierbaren Systemzustandes laufende Energiezufuhr erforderlich, die im Sinne einer Optimierung der Reaktionsfähigkeit des Systems ein energetisches Ungleichgewicht herstellen sollte.
Nicht irgendein statischer Wert, sondern das dynamische Maß der Produktionsrate der Entropie oder anders ausgedrückt, die Intensität des Energieum- und -durchsatzes ist charakterisierend für dissipative Systeme. Sie verhalten sich nichtlinear und iterativ und sind typische Beispiele für Selbstorganisation.
Feigenbaum - Kaskade
Ein möglicher und sehr häufig verwendeter Weg, auf dem ein bisher geordnetes komplexes System in ein chaotisches Verhaltensmuster kippen kann, ist die Route der Periodenverdoppellung. Nach M. Feigenbaum wird dieser Weg auch als Feigenbaum-Kaskade bezeichnet. Diese Kaskade stellt sich als zunehmend verzweigter Bifurkationsbaum dar. Die Abstände zwischen den Abzweigungen sind regelmäßig, sie werden auf ihrem Weg zum Chaos aber immer kürzer, bis schließlich bei einem sehr geringen, noch endlichen Abstand fast unendlich viele Bifurkationen vorhanden sind.
Bei einer solchen Periodenverdoppelung wechselt das zunächst periodische Systemverhalten parallel mit einem wachsenden Kontrollparameter zu neuen Periodizitäten mit der jeweils halben Frequenz, also der doppelten Periode. Mit der Zeit wird aber die Zunahme des Kontrollparameters zwischen zwei Verdoppelungen immer geringer, bis ab einer kritischen Schwelle das Systemverhalten chaotisch wird.
Feigenbaum erkannte, dass das Verhältnis der Differenzen zwischen den Kontrollparametern der aufeinander folgenden Periodenverdoppelungen eine universelle Konstante darstellt. Diese irrationale Zahl 4,66920166... wird seither als Feigenbaum -Zahl bezeichnet.
Fraktal
Das Wort "fraktal" wurde von B. Mandelbrot geprägt für die Beschreibung der von ihm entdeckten merkwürdigen Geometrie von unregelmäßig geformten Gebilden. Das Wort "fractum" stammt aus dem Lateinischen und bedeutet "gebrochen". Die von ihm als Fraktale bezeichneten Strukturen zeigen in verschiedenen Größenordnungen ähnliche Muster.
Die von ihm begründete fraktale Geometrie kann man als mathematische Sprache verstehen, mit deren Hilfe es möglich wurde Ordnungsprinzipien in nichtlinearen Systemen beschreibbar und verstehbar zu machen.
Fraktale sind auch dadurch charakterisiert, dass sie im Kontrast zur euklidischen Geometrie keine ganzzahligen Dimensionen haben, wie 0, 1, 2 oder 3, sondern eine "gebrochene" oder fraktale Dimension, deren Werte zwischen den ganzen Zahlen liegen, wie etwa 1,53824...
Diese "neue Sprache" ermöglicht die Beschreibung von sehr unterschiedlichen komplexen Systemen, wie etwa Küstenlinien. Wolken, Galaxien, Gebirgen, Blumen, Blutgefäßsystemen und so fort. Ihre einzelnen Elemente entziehen sich aber einer direkten Anschauung im Unterschied zu den Elementen der herkömmlichen euklidischen Geometrie, wie Linie, Kreis und Kugel. Die fraktale Sprache ist definiert durch spezielle mathematische Verfahrensregeln, Algorithmen, welche es mit Computerhilfe möglich machen, dass fraktale Formen und Strukturen auch am Bildschirm optisch sichtbar erzeugt werden können.
So kann man etwa mit Hilfe eines Algorithmus mit nur 24 Zahlen eine so komplexe Struktur wie ein Farnblatt vollständig beschreiben und darstellen. Würde man hingegen dasselbe Farnblatt Punkt für Punkt auf einem Fernsehbildschirm darstellen, dann würde man dafür einige hunderttausend Zahlenwerte benötigen.
Die fraktale Sprache kann also durch eine besonders geordnete Darstellungskraft die dafür erforderliche Informationsmenge ganz wesentlich reduzieren. Fraktale sind demnach einerseits höchst komplex aufgrund ihres unendlichen Form- und Detailreichtums sowie aufgrund ihrer unglaublichen Vielfältigkeit. Auf der anderen Seite ist jedes Fraktal mathematisch einzigartig und auch sehr einfach durch Iteration darstellbar.
Fraktale sind, wie gesagt, charakterisiert durch eine gebrochene Dimension und durch das Phänomen der Selbstähnlichkeit. Dies belegen auch künstlich erzeugte fraktale Muster wie die Koch-Kurve oder die Cantor-Menge.
Ausschnitte einer Struktur gleichen Skalen - verschoben der Gesamtstruktur, wie etwa ein kleines Farnblatt einem größeren und dem gesamten Farnstrauch, wie ein Kohlröschen dem gesamten Blumenkohl oder wie Zweige, Äste und Bäume einander ähneln. Ein Fraktal sieht ähnlich aus, ob man es nun auf einer Skala von einem Meter, einem Millimeter oder einem Mikrometer betrachtet. Fraktale Muster wiederholen sich und sind untrennbar miteinander verbunden. Während die Ränder der euklidischen Geometrie glatt begrenzt sind, erscheinen die Ränder fraktaler Strukturen unendlich "rau", voll von versteckter Information, die sich bei weiterer Vergrößerung als Wiederholung selbstähnlicher fraktaler Muster auf neuen Skalenebenen erkennen lassen.
Das Aufsuchen fraktaler Muster auf unterschiedlichen räumlichen und zeitlichen Ebenen gleicht einem Weg durch Raum und Zeit, auf dem es möglich wird weitreichende Zusammenhänge zu erkennen.
Das bekannteste Beispiel eines fraktalen Musters ist das "Apfelmännchen". Diese ebene graphische Darstellung ist der Spitzname für die so genannte Mandelbrot - Menge, da sie an mehrere aufeinander gesetzte Äpfel unterschiedlicher Größe erinnert. Jeder Punkt dieser Ebene lässt sich durch eine komplexe Zahl C identifizieren. Aus C wird mit Hilfe einer rekursiven Gleichung Zn+1 = Zn2 + C der Wert Z1 errechnet. Das Ergebnis daraus wird ständig rückkoppelnd immer wieder in die Gleichung eingesetzt, sodass Z2, Z3, Z4 und so fort errechnet wird. Am Beginn des Rechenvorganges wird ein Startwert Z0 benötigt. Dieser wird festgehalten für die Berechnung der Mandelbrot - Menge und immer gleich 0 gesetzt. Wird diese Gleichung iterativ vom Computer bis ins Unendliche wiederholt, dann werden die Z-Werte der errechneten Folgen entweder gegen unendlich streben oder im Endlichen bleiben.
C-Werte zählen nur dann zur Mandelbrot - Menge, wenn die Werte ihrer Folgen im Endlichen bleiben. Färbt der Computer diese Zahlenwert-Ebene schwarz, dann wird das Apfelmännchen sichtbar. Der faszinierende Rand des Apfelmännchens zeigt Formen, die an Wirbel, Seepferdchen und andere phantasievolle Gebilde erinnern. Bei zunehmend stärkerer Vergrößerung dieser unendlich "rauen" Randregion tauchen immer wieder neue, den größeren Strukturen ähnliche Gebilde auf. Auch neue Apfelmännchen erscheinen wie aus dem Nichts. Die Mandelbrot - Menge ist demnach ein klassisches Fraktal. Sie ist auch durchgehend zusammenhängend. Jeder einzelne Punkt ist zu erreichen, ohne dass die Menge verlassen werden muss.
Irrationale Zahl
Unter diesem Begriff werden Zahlen definiert, welche sich im Gegensatz zu rationalen Zahlen nicht als Bruch darstellen lassen. Werden irrationale Zahlen als Dezimalbruch dargestellt, dann zeigt sich eine unendliche Zahl von Ziffern, die wie zufällig auftretend erscheinen und kein wiederholendes Muster zeigen.
Fraktale Dimensionen werden durch irrationale Zahlen ausgedrückt.
Iteration
Das lateinische Wort "iterare" bedeutet wiederholen. Als Iteration bezeichnet man demnach die wiederholte Anwendung ein- und derselben mathematischen Vorschrift, wobei das Ergebnis eines jeden Berechnungsschrittes als Ausgangswert für den folgenden Rechenvorgang dient. Dieser Vorgang entspricht einem ständigen Rückkopplungsprozess.
In der mathematischen Praxis werden Iterationen verwendet, um Gleichungen näherungsweise zu lösen.
Als erster erkannte 1963 der Meteorologe E. Lorenz, dass Iteration zu einem chaotischen Systemverhalten führen kann. Er verwendete damals ein Computersystem, mit dem er Wettervorhersagemodelle mit Hilfe nichtlinearer Gleichungen überprüfen wollte. Bei der Nachkontrolle einer von ihm initiierten Computervorhersage gab er zwar die gleichen Daten für Luftdruck, Windstärke und Temperatur ein, er rundete aber die jeweiligen Werte auf drei Dezimalstellen ab. Dieser minimale Unterschied an der vierten Stelle hinter dem Komma führte durch die Iteration zu einem völlig anderen Ergebnis.
Es besteht nämlich eine zentrale Eigenschaft iterativer Gleichungen und zwar ist dies eine extrem hohe Empfindlichkeit gegenüber den Anfangsbedingungen. Dies bedeutet, dass minimale VerÄnderungen an den Anfangsbedingungen zu einer unvorhersagbaren Entwicklung des Gesamtsystemverhaltens führen können.
Diese sensible Abhängigkeit vom Ausgangswert kann man aber nicht nur hei der Iteration von Zahlen finden, sie besteht auch heim Wachstum von Pflanzen, der Entwicklung einer Krankheit oder dem Wahrnehmungsprozess im Gehirn.
Iteratives Paradoxon
Ein berühmtes, immer wieder zitiertes Beispiel für ein selbstbezügliches oder iteratives Paradoxon ist die Parabel von einem Mann aus Kreta, der einen Besucher der Insel warnt, dass alle Kreter Lügner seien. Wenn dieser Kreter nun lügt, dann ist seine Aussage gegenüber dem Besucher falsch und es sind nicht alle Kreter Lügner. Wenn er aber die Wahrheit sagt, dann muss er gelogen haben.
Ein Computer würde beim Versuch, dieses Paradoxon zu lösen, hilflos zwischen wahr und falsch hin- und herpendeln. Den Menschen aber bietet die Anforderung eines solchen Paradoxons die Möglichkeit, durch das Hin- und Her- Schwingen zwischen diesen beiden geistigen Spiegelbildern oder Systemzuständen eine völlig neue kreative Einsicht zu gewinnen. Eine solche geistige Technik wird laufend im Zen-Buddhismus als möglicher Weg zur Erweiterung des eigenen Bewusstseins angewandt. Sie eignet sich aber auch für das Suchen innovativer Problembewältigungsstrategien in ausweglos erscheinenden Situationen.
Katalyse
Unter Katalyse versteht man die Beschleunigung oder Verzögerung des Ablaufes einer chemischen Reaktion. Diese Beeinflussung der chemischen Reaktion wird bewirkt oder ermöglicht durch die Anwesenheit einer dritten Substanz, die als Katalysator bezeichnet wird.
Kausalität
Die Vorstellung einer umfassenden Kausalität im Weltgeschehen wurde bereits von Demokrit entwickelt. Die Kausalität besagt, dass jedes Ereignis durch ein vorangegangenes Ereignis, sprich Ursache oder Causa, hervorgerufen oder ausgelöst wird. Das Kausalprinzip meint also, dass es keine Wirkung ohne Ursache gibt. Das abgeleitete Kausalgesetz legt fest: Gleiche Ursachen haben gleiche Wirkungen.
Diese Sichtweise blühte insbesondere seit der klassischen Physik Newton's und dem Aufschwung der Technik seit der Renaissance. Diese Betrachtungsweise hat sich für isolierte und reduzierte Vorgänge als nützlich erwiesen. Bei komplexen Systemen mit nichtlinearen Zusammenhängen ist es aber nicht zielführend und auch nicht möglich, eindeutige Ursache - Wirkung - Kausalketten zu finden, obwohl nicht selten in verschiedenen Wissenschaftsdisziplinen und Alltagsbereichen in diesem Sinn unzulässig vereinfachende Schlussfolgerungen gezogen werden.
Komplexe Zahlen
Mit Hilfe von komplexen Zahlen kann die Lösung bestimmter mathematischer Problemstellungen vereinfacht werden.
Komplexe Zahlen "Z" bestehen aus zwei Komponenten und zwar aus einem so genannten Realteil "a" und dem Imaginärteil "b.i". einem Vielfachen der imaginären Zahl "i". Die Zahl wird deshalb als imaginär bezeichnet, weil sie in der Realität nicht existiert. Die imaginäre Zahl ist das Ergebnis eines unmöglichen Rechenschrittes, nämlich dem Ziehen einer Wurzel aus -1.
Dieser mathematische Trick macht es aber möglich, dass man etwa periodische Abläufe mathematisch formulieren kann.
Mandelbrot untersuchte mit Hilfe des Computers eine Reihe rückgekoppelter nicht linearer Gleichungen, wobei er komplexe Zahlen verwendete. Komplexe Zahlen können als Punkte auf einer zweidimensionalen komplexen Ebene dargestellt werden.
Die Arbeit von Mandelbrot führte schließlich zur Entdeckung einer solchen komplexen Ebene, die nach ihm als Mandelbrot - Menge bezeichnet wurde. Die graphische Darstellung dieser Menge am Bildschirm ergab das faszinierende Fraktal des Apfelmännchens.
Kontrollparameter
Ein Kontrollparameter ist definiert als eine unabhängige, aber veränderliche Größe eines Systems. Der Kontrollparameter ist dadurch imstande, das Systemverhalten qualitativ zu beeinflussen und zu kontrollieren. Die Veränderung eines Kontrollparameters führt zu einer Veränderung des gesamten Systemverhaltens. Mathematisch kann dies durch eine logistische Gleichung ausgedrückt werden. Erst durch das Wissen um die, für das Systemverhalten wesentlichen Kontrollparameter kann ein komplexes Systemverhalten verstanden und geplant beeinflusst werden.
In der Regel durchlaufen nichtlineare Systeme bei kontinuierlicher Vergrößerung eines Kontrollparameters eine Folge von stabilen Systemzuständen unterschiedlicher Qualität und Komplexität, bis schließlich bei überschreiten eines bestimmten Schwellenwertes chaotisches Systemverhalten eintritt.
Ein typisches Beispiel für einen Kontrollparameter ist der bei der Benard - Instabilität wichtige Temperaturunterschied.
In der Praxis eines natürlichen komplexen Systems ist es oft sehr schwierig herauszufinden, welche Systemparameter Kontrollparameter sind und welche nicht.
Ljapunov - Zahl
Die Ljapunov - Zahl ist ein Maß dafür, wie schnell sich Parameter eines nicht linearen Systems in ihrem dynamischen Verhalten voneinander entfernen oder annähern.
Mathematisch ausgedrückt ist die Ljapunov - Zahl ein Maß für das "Auseinander- oder Zusammenlaufen" der Lösungen von Differentialgleichungen oder von iterativen Reihen bei unterschiedlichen Anfangsbedingungen. Eine negative Ljapunov - Zahl, also kleiner als Null, bedeutet, dass sich die Lösungen im Lauf der Zeit, mit zunehmender Anzahl von Iterationen annähern und der anfangs bestandene Unterschied in den Startbedingungen verschwindet. Solche Systeme gelten als stabil.
Ein Ljapunov - Wert gleich Null bedeutet, dass die Unterschiede, die zum Startzeitpunkt zwischen den Anfangsbedingungen bestanden, auch mit zunehmender Anzahl an Iterationen erhalten bleiben. Solche Systeme werden als marginal stabil bezeichnet.
Ist die Ljapunov - Zahl positiv, also größer als Null, dann wachsen mit der Zahl der Iterationen die kleinen Unterschiede der Anfangsbedingungen exponentiell an, was ein klares Kennzeichen eines chaotischen Systemverhaltens darstellt.
Nicht Linearität
Ein System wird dann als nicht linear bezeichnet, wenn das System als Ganzes auf die Änderung eines Parameters, etwa durch eine Fluktuation nicht direkt proportional, sondern nicht linear wechselwirkend reagiert. Das Ausmaß der Änderung ist abhängig von dem Ausgangswert in dem sich die anderen Parameter befinden. In der uns umgebenden Natur verlaufen eigentlich alle komplexen Prozesse nichtlinear ab, sei es das Wachsen einer Pflanze oder eines Lebewesens, sei es der dynamische Ablauf in einer Gruppe, sei es die Interaktion von Tierpopulationen oder sei es die Funktion des menschlichen Gehirns. Nur in nichtlinearen Systemen ist die Entwicklung von deterministischem Chaos möglich.
Periodenverdoppelung
Als Periode oder Oszillation bezeichnet man die Zeit, die ein schwingendes System benötigt um in den ursprünglichen Zustand zurückzukehren. Bei der Verwendung eines mathematischen Modells, das sich auf das Verhulst - Modell stützte, berechnete 1970 May den Verlauf der Geburtenrate einer Insektenpopulation abhängig vom Nahrungsangebot. Es stellte sich heraus, dass sich die Zeit, die das System benötigte um wieder seinen Ausgangswert zu erreichen, bei ganz bestimmten kritischen Werten verdoppelte. Diese Periodenverdoppelung tritt ein, weil sich aufgrund wachsender Werte von Kontrollparametern neue Periodizitäten mit halber Frequenz, also doppelter Periode einstellen.
Nach mehreren Zyklen der Periodenverdoppelung beginnt sich das System wie zufällig, unvorhersagbar, also chaotisch zu verhalten.
Eine Verdoppelung der Verhaltensmuster eines Systems auf dem iterativen Weg in das deterministische Chaos ist bei folgenden Kontrollparameterwerten (C) zu erwarten: ausgehend von C1=3,0; C2=3,4496..; C3=3.544...; C4=3,5644... Der kritische Schwellenwert ab dem der Übergang in chaotisches Verhalten erfolgt ist 3,5699456....
Wenn man C als denjenigen Wert der iterativen Veränderungsrate nimmt an dem die n-te Verdoppelung oder Bifurkation bis zum chaotischen Verhalten eintritt, kann man eine Verhältniszahl für die Länge zweier aufeinander folgender Bifurkationen berechnen. (Cn - Cn-1) / (Cn+1 - Cn) ergibt eine universelle Konstante (=4,669201...), welche als "Feigenbaum - Zahl" bezeichnet wird. Dies ist der Grund warum der Periodenverdoppelungsweg auch als "Feigenbaum - Kaskade" bezeichnet wird.
Phasenraum
Ein Phasenraum ist ein mathematisch definierter Darstellungsraum in dem - je nach Bedarf - so viele Kontrollparameter dargestellt werden können wie nötig sind um die Bewegung eines bestimmten Systems darzustellen.
Oft wird in Anlehnung an den uns vertrauten dreidimensionalen Koordinatenraum eine dreidimensionale Darstellung der verschiedenen Variablen benützt, doch kann ein Phasenraum für die notwendige Darstellung eines komplexeren Systemverhaltens auch mehr als drei Dimensionen aufweisen. Solche höher dimensionale Räume kann man natürlich nicht in unserem gewohnten dreidimensionalen Raum darstellen, doch ist es möglich zwei- oder dreidimensionale Querschnitte eines höherdimensionalen Raumes zu zeichnen und mathematisch seine Eigenschaften zu definieren. Die in einem solchen Phasenraum erhobenen Messdaten können analysiert werden, so dass es möglich wird, den komplexen, nicht linearen Systemzustand zu beschreiben. Aus diesem Grund wird der Phasenraum auch als Zustandsraum bezeichnet.
Phasenübergang
Bewegt sich der Verhaltenszustand eines komplexen Systems durch Veränderung eines Kontrollparameters aus einem dadurch destabilisierten Systemzustand auf einen neuen zu, dann gelangt er in eine Phase des Übergangs oder der Bifurkation. Von Physikern werden solche Zustandsänderungen traditionell als Phasenübergänge bezeichnet. Anschauliche Beispiele für solche Änderungen von Systemzuständen sind etwa die Übergänge von Eis in Wasser oder Dampf. VerÄnderungen einer bisher gesunden Organzelle in eine Krebszelle oder das Umschlagen von Angst in Aggression.
In besonderen Situationen kann dies auch den Übergang von einem geordneten Systemzustand zu einem chaotischen bedeuten. In Phasenübergängen besteht eine maximale Komplexität, welche potentiell auch eine hohe Flexibilität besitzt, um kreativ eine Vielfalt neuer Varianten von Verhaltensmustern zu entwickeln. In der Regel aber werden Muster gewählt, die sich in der bisherigen Systemgeschichte als Erfolg versprechend, das heißt zielführend im Sinne der Systemerhaltung behaupten konnten.
Neue potentielle Verhaltensmuster haben meist keine oder nur eine geringe Aussicht auf eine Verwirklichung, außer es ist aufgrund völlig neuer, geänderter Rahmenbedingungen eine völlige Neuadaptierung des Systemverhaltens erforderlich, da ansonsten das System selbst bedroht ist.
Komplexe Systeme bewahren ihre Stabilität indem sie den Großteil der störenden Einflüsse durch Rückkopplung wegdämpfen, außer in jenen Bereichen des Phasenüberganges, wo ein hoher Grad an Flexibilität und Kreativität erforderlich und damit erwünscht ist. An diesen Stellen einer potentiellen Veränderung bleibt das System hochempfindlich für jede Art von Beeinflussung.
Der Phasenübergang bietet demnach potentiell auch immer die Möglichkeit einer optimalen Adaptierung des Systemverhaltens.
Rationale Zahlen
Als "rational" werden in Abgrenzung zu irrationalen Zahlen jene Zahlen bezeichnet, welche sich als Verhältnis ganzer Zahlen wie etwa 1/3 oder 1/4 als Dezimalbruch mit einer endlichen Zahl von Ziffern darstellen lassen wie 0,25 und 0,75 oder als ein einfacher unendlicher, aber periodischer Dezimalbruch wie etwa 0,3333333... oder 0,707070....
Reduktionismus
Darunter versteht man die Meinung, dass alle Vorgänge auf einer höheren Organisationsebene durch eindeutig definierbare Strukturen auf niederer Organisationsebene zurückführend zu erklären und zu verstehen sind.
So wird etwa versucht, die Biologie auf die Chemie zu reduzieren, die Chemie auf die Physik und die Physik auf die Eigenschaften der Elementarteilchen.
Bei der Suche nach einer Theorie, die alle Erscheinungen mit möglichst wenigen Ausnahmen erklären kann, stützt sich der Reduktionismus mehr oder weniger deutlich auf den Determinismus und auf eine starke Kausalität.
Relativitätstheorie
Diese grundlegende physikalische Theorie wurde von Einstein, basierend auf Vorarbeiten von Poincare geschaffen.
Nach der "Speziellen Relativitätstheorie" sind alle Bezugssysteme gleichermaßen gültig und es gibt kein absolutes Bezugssystem.
Ausgehend von der bekannten Tatsache, dass die Lichtgeschwindigkeit (c=300.000 km/s) eine Konstante ist, entwickelte Einstein eine Theorie, um das Verhalten materieller Objekte in Bezugssystemen zu beschreiben, die sich mit konstanter Geschwindigkeit relativ zueinander bewegen. Er fand, dass sich geradlinige, gleichförmige Bewegungen nicht absolut genau feststellen lassen.
Wenn man als Beispiel annimmt, dass ein Reisender in einem völlig geräuschisolierten, erschütterungsfreien sowie fensterlosen Waggon fährt, so hat er selbst keine Möglichkeit, die Geschwindigkeit des Zuges zu bestimmen. Dies bedeutet, dass Bewegung nur relativ in Beziehung zu einem Beobachter oder Bezugssystem möglich ist.
Da man aus Erfahrung weiß, dass Information maximal mit Lichtgeschwindigkeit übermittelt werden kann und dass dies im Vakuum mit einem konstanten Wert erfolgt, kann man folgendes Gedankenexperiment anstellen:
Wenn sich zwei isolierte Beobachter aufeinander zu bewegen und während dieses Vorganges einander über einen Bildschirm sehen können, so wird jeder der beiden die Zeit bei dem anderen schneller vergehen sehen als bei sich selbst. Entfernen sie sich voneinander, dann wird sich diese Wahrnehmung umkehren.
Aufgrund dieses Ergebnisses lässt sich die Frage der Gleichzeitigkeit unterschiedlich beantworten. Nach Einstein gibt es weder eine verlässliche Gleichzeitigkeit noch einen absoluten Wert für den Ort oder die Geschwindigkeit. Die wahrgenommenen oder gemessenen Werte dieser Größen sind demnach abhängig vom gegenseitigen Bewegungsablauf der Beobachter. Sind die Geschwindigkeiten unter 10 % der Lichtgeschwindigkeit - also weniger als 300.000 km/s - so liefern die entsprechenden mathematischen Gleichungen das gleiche Ergebnis wie die "Newton'sche Mechanik". Liegt die Geschwindigkeit jedoch über diesem Wert, dann ereignen sich merkwürdige Dinge.
So lassen sich beispielsweise zwei Geschwindigkeiten niemals zu einer relativen Geschwindigkeit addieren, die größer als "c" ist. Die Addition der beiden Geschwindigkeiten zeigt diese Auffälligkeit deshalb, weil bei hohen Geschwindigkeiten Raum und Zeit Krümmungen aufweisen. Aus Einstein's Gleichungen ergab sich weiters, dass die Masse von sich bewegenden Objekten mit ihrer Geschwindigkeit zunimmt.
Die Beschreibung dieser Hochgeschwindigkeitswelt durch die "Spezielle Relativitätstheorie" ist durch viele Experimente abgesichert.
Für die "Allgemeine Relativitätstheorie", die vor allem eine Theorie der Gravitation ist, wurde diese Grundidee von Einstein auch auf die beschleunigte Bewegung ausgeweitet, wodurch eine Gleichwertigkeit verschiedenster Bezugssysteme angenommen wurde. Die bekanntesten Ableitungen aus diesen Überlegungen sind die Äquivalenzen von Masse und Energie (E = m x c2) sowie von so genannter schwerer und träger Masse.
Nach Einstein soll man sich auch Raum und Zeit nicht als unabhängige Einheiten vorstellen, sondern richtiger als verschiedene Aspekte eines einheitlichen Ganzen, nämlich der "Raumzeit". Diese ist aber nicht wie Newton's Weltsicht meinte, ein für allemal festgeschrieben wie die absolute Zeit oder der absolute Raum.
Sie kann sowohl gestreckt als auch zusammengequetscht werden. Vereinfacht ausgedrückt, hängt es einerseits von der Materie ab, auf welche Weise sich die Raumzeit krümmt, andererseits hängt es aber von den Krümmungen in der Raumzeit ab, wie sich Materie bewegt. Aus Einstein's Gleichungen ging auch hervor, dass die Raumzeit, die das materielle Universum umschließt, nicht statisch sein kann, sondern sich ausdehnt oder zusammenzieht.
Einstein wurde zu seiner neuen Idee durch seine Erkenntnis geführt, dass ein Mensch im Innern eines den Schacht hinabstürzenden Fahrstuhls keine Schwerkraft empfindet. Für diesen Menschen scheint die Schwerkraft wie auch für die Astronauten nicht zu existieren, da die Schwerkraft und die Beschleunigung des Falles einander genau entsprechen. Auf die "Allgemeine Relativitätstheorie" stieß Einstein, als er die Konsequenzen dieser Erkenntnis gedanklich auf einen Lichtstrahl übertrug, der aus einer Taschenlampe horizontal die Innenseite eines in einem Schacht herabstürzenden Fahrstuhles durchläuft. Dem Blick des Beobachters im gleichen System des Fahrstuhles erscheint das Licht in gerader Linie verlaufend.
Beobachtet jemand aber von außerhalb den Fall des Fahrstuhls, dann würde er nach Einstein Erstaunliches bemerken können.
Zwar würde das Licht scheinbar einer Linie folgen, die immer den gleichen Abstand zum Dach des Fahrstuhls hielte, doch hat in der Zeit, welche das Licht zum Durchqueren des Fahrstuhls braucht, dieser genauso wie der Lichtstrahl selbst im Fallen eine Beschleunigung erfahren.
Eine Beobachtung von außerhalb des Fahrstuhls würde zeigen, dass der Lichtstrahl der den gleichen Abstand zum Dach beibehalten will, einer gekrümmten Bahn folgt. Einstein erklärte dieses Phänomen durch die Krümmung der Raumzeit.
Durch diese Theorie relativierte Einstein die bis in die heutige Zeit von der Wissenschaft stillschweigend als absolut angenommenen Größen durch die Zurückführung auf beobachtbare und damit messbare Werte in relative.
Rückkopplung
Das Phänomen der Rückkopplung das jedem alltäglich aus dem Wechselspiel zwischen Heizung und Thermostat vertraut ist, bildet eine charakteristische Eigenschaft für alle nichtlinearen Systeme. Rückkopplung kann hemmend oder verstärkend wirken. Dieses Phänomen einer ständig rückkoppelnden Wechselwirkung findet sich in unterschiedlichsten komplexen Systemen, wie hormonellen und immunologischen Regelkreissystemen, in Strukturen der Ökologie und Ökonomie, in elektronischen Schaltkreisen, in gesellschaftlichen Zusammenhängen, in Funktionsabläufen des Gehirns, aber auch bei Wachstumsvorgängen und bei psychischen Prozessen.
Rückkopplung ist einerseits eine Grundvoraussetzung dafür, dass sich ein System eine Stabilität aufbauen und erhalten kann und andererseits auch notwendig, damit das System bei Bedarf auch seinen Zustand ändern kann. Iteration als ständig ablaufende Rückkopplung bestätigt diese lebensnotwendige Tatsache.
Prigogine bezeichnet die Verknüpfung von Rückkopplungsschleifen als Kommunikation der Systeme. Diese Kommunikation ermöglicht es jedem System, sich selbstorganisatorisch in Kooperation mit anderen Systemen zu erhalten.
Schmetterlingsphänomen
Edward Lorenz verwendete diesen Begriff, um die enorme Abhängigkeit eines nichtlinearen Systems von den Anfangsbedingungen anschaulich zu machen. Aufgrund minimaler Veränderungen an den Parameterwerten seines Wettermodells errechnete der Computer unvorhersagbar eine völlig andere Wetterentwicklung. Diesen geringfügigen Einfluss verglich Lorenz mit der Auswirkung einer winzigen Luftmenge, die durch den Flügelschlag eines Schmetterlings bewegt wird. Dieser minimale Einfluss auf die Anfangsbedingungen könnte ausreichen, dass durch Iteration in räumlicher und zeitlicher Entfernung vom Schmetterling ein im detaillierten Ablauf unvorhersagbarer Wirbelsturm entsteht.
Selbstähnlichkeit
Der Begriff Selbstähnlichkeit wurde von Mandelbrot für die Beschreibung einer zentralen Eigenschaft fraktaler Strukturen vorgeschlagen, die auf unterschiedlichen Größenordnungen ähnliche Muster zeigen. Dies erfordert jedoch, dass Winkel und Verhältnisse einander entsprechender Linienabschnitte gleich sein müssen. Den Verkleinerungs- beziehungsweise Vergrößerungsfaktor, um den eine bestimmte Form verkleinert beziehungsweise vergrößert wird, nennt man Skalierungsfaktor.
Die Ähnlichkeit solcher Muster dürfte aber nicht nur über verschiedene Räume der Größenordnung hinweg bestehen, sondern auch in unterschiedlichen Zeiten, in Vergangenheit, Gegenwart und Zukunft.
Selbstähnlichkeit kann nicht nur in künstlichen Fraktalen wie der Koch'schen Kurve, dem Sierpinsky - Dreieck oder dem Apfelmännchen Mandelbrot's beobachtet werden, sondern sie kann in unterschiedlichsten komplexen Systemen bei Anwendung einer neuen Sichtweise wahrgenommen werden. Diese Wahrnehmungsart achtet auf ähnliche zusammenhängende Muster, die sich sowohl auf unterschiedlichen Skalierungsebenen finden lassen als auch im Vergleich von Systemen der gleichen Art.
Bei allen in der Natur existierenden Objekten, wie etwa den oft zitierten Farnpflanzen, den Bäumen, Wolken oder dem Kohl kann Selbstähnlichkeit im Gegensatz zu künstlich erzeugten Fraktalen nur bis zu einer bestimmten Größenordnung bestehen, da im Bereich von Molekülen und Atomen die Selbstähnlichkeit eines bestimmten Objektes nicht mehr zu erwarten ist.
Die offensichtliche Harmonie und Symmetrie selbstähnlicher fraktaler Muster stimulierte die Suche nach Ordnungsprinzipien in den fraktalen Gebilden. Der gebrochenen Dimension, die sich auch in der Regel des "Goldenen Schnittes" finden lässt - kommt dabei eine zentrale Bedeutung zu.
Selbstorganisation
Durch das dynamische Wechselspiel der einzelnen Parameter eines komplexen Systems wird laufend aus der Gegebenheit zum Teil unterschiedlichster Anfangs- und Rahmenbedingungen eine ausgewählt, die unter den derzeitigen Bedingungen als die "passendste" erscheint.
Diese Entwicklung richtet sich zwar nach bestimmten Gesetzmäßigkeiten, die man als deterministisch bezeichnen kann, der Ablauf selbst, sowie die Entwicklung im Detail folgt selbstorganisatorisch ablaufenden Wechselwirkungen der einzelnen Teile.
Durch dieses ständige, nicht lineare Zusammenwirken der Teile entsteht laufend durch den immerwährenden Prozess der Iteration "Neues" und "Ganzes". Durch die Selbstorganisation gewinnt das Gesamtsystem eine neue Qualität, die nicht der Summe der Qualitäten der einzelnen Teile entspricht.
Dieser Prozess der Selbstorganisation findet sich als kommunikatives Prinzip in allen komplexen Systemen.
Als Beispiel sei im Bereich der Biologie auf das Zusammenspiel von Molekülen und Zellen verwiesen, die in ihrem Wechselspiel verantwortlich sind für die Komplexheit der Immunreaktion eines Organismus, auf die Milliarden von Neuronen im Nervensystem, deren Selbstorganisation die Grundlage für Wahrnehmung, Verhalten und Lernen bilden und auf das komplexe Zusammenspiel von Ökosystemen mit ihrer Artenvielfalt und wechselseitig beeinflusster evolutiver Entwicklung.
Wesentliche Beiträge zum grundlegenden Verstehen von selbtorganisatorischen Prozessen kommen von unterschiedlichen Forschungsansätzen.
Dies sind einerseits die dissipativen Systeme nach Prigogine, die katalytischen Hyperzyklen nach Eigen, die Synergetik nach Haken, die Autopoiese nach Maturana sowie die von Kauffman angewandt Bool'sche Funktion und die Impulskopplung von Oszillatoren.
Skaleninvarianz
Als Invariante wird eine Größe bezeichnet, welche bei einer Veränderung gleich bleibt.
Der Begriff Skaleninvarianz soll die charakteristische Ähnlichkeit von fraktalen Gebilden auf verschiedenen räumlichen und auch zeitlichen Skalen beschreiben. Mandelbrot prägte für diese Eigenschaft den begriff Selbstähnlichkeit.
Werden fraktale Strukturen zum Beispiel nach verschiedenen Größenordnungen untersucht, kann man immer wieder dieselben Grundelemente finden. Diese Zusammenhänge über Raum und Zeit werden mathematisch durch den Begriff der fraktalen Dimension beschreibbar. Die fraktale Dimension eines Objektes ist eine universelle Eigenschaft, was bedeutet, dass sie von vielen Details des Entstehungsprozesses unabhängig ist.
Synergetik
Nach Haken bezeichnet man die mathematische Lehre vom Zusammenwirken als Synergetik. Das Wesentliche im Ablauf der Natur ist nicht das kleinste Teilchen, aus dem sich alle Materie aufbaut, sondern "Ganzheiten", die aufgrund von selbst organisiertem Zusammenwirken entstehen und bestehen.
Durch die Kooperation der einzelnen Elemente entstehen nach Haken hierarchische Stufen mit einer qualitativ neuen Identität. Es entstehen dadurch laufend neue Strukturen beziehungsweise neue Muster. So bilden sich etwa aus Atomen Moleküle, aus Molekülen Zellbestandteile, aus Zellbestandteilen Zellen, aus Zellen Zellverbände, aus Zellverbänden organische Einheiten, aus organischen Einheiten Pflanzen, Tiere oder Menschen.
Damit dieser Ablauf vonstatten gehen kann, ist ein Fließgleichgewicht erforderlich, was bedeutet, dass für die Selbstorganisation neuer Strukturen fortwährend die Aufnahme von Materie beziehungsweise Energie notwendig ist. Diese Situation ist in dissipativen Systemen gegeben. Ab einer gewissen kritischen Marke des Zusammenspiels der einzelnen Elemente ordnen sich diese einem bestimmten Ordnungsprinzip unter. Nach Haken lassen sie sich "versklaven".
Unschärfeprinzip
Das 1927 von Werner Heisenberg formulierte Prinzip besagt, dass sich bei der Beobachtung eines Elementarteilchens Ort und Impuls (= Produkt aus Masse und Geschwindigkeit) eines Elementarteilchens nicht mit beliebiger Genauigkeit bestimmen lassen.
Umstritten ist bis heute, ob die Unschärfe dadurch verursacht wird, weil Elementarteilchen gar keine exakten Eigenschaften haben, sondern diese jeweils durch die Beobachtungssituation zugefügt erhalten, wie auch Heisenberg meinte, oder ob es sich um ein generelles Messproblem handelt.
Die Größe der fundamentalen Unschärfe wird als "Planck'che Konstante" bezeichnet. Sie wird errechnet durch Multiplikation des Impulses eines Photons mit der Länge der assoziierten Welle.
Davon abgeleitet, gilt diese grundsätzliche Unschärfe auch für die verwendeten Maß- und Messeinheiten wie Länge und Zeit. Die Werte dieser Unbestimmtheiten sind sehr klein. So beträgt der Wert für die "Planck'sche Länge" 10-35 Meter und für die "Planck'sche Zeit" 10-43 Sekunden. Nach den Gesetzen der Quantenmechanik ist es prinzipiell unmöglich, über diese Unschärfewerte hinaus zu messen.
Zwar ist die auftretende Unschärfe für ein makroskopisches Systemverhalten vernachlässigbar klein, doch spielt sie in mikroskopischen Systemen sowie bei Systeminstabilitäten aufgrund der Iteration eine bedeutende Rolle.
Anschauungsbeispiel:
Bei dem Versuch der Bestimmung der Geschwindigkeit eines Heliumatoms auf eine Genauigkeit von 1 %, würde gleichzeitig eine Ungenauigkeit der Ortsbestimmung des Heliumatoms von 9 Milliardstel Millimeter zu erwarten sein. Dieser Ungenauigkeitswert oder diese Unschärfe ist in diesem konkreten Beispiel etwa 90mal größer als der Durchmesser des Heliumatoms selbst.
Verhulst Modell
Verhulst, der sich 1845 für die mathematische Berechnung des Wachstums von Populationen interessierte, führte ein neues Glied in die Gleichungen ein, wodurch sie nichtlinear wurden, was die Berechnung wechselseitiger Einflüsse auf das Wachsen von Populationen ermöglichte.
Der Verlauf des Populationswachstums kann nämlich sehr vielfältig und äußerst schwankend sein und kann, abhängig von den beteiligten Parametern, von einfachster Ordnung bis zum chaotischen Verhalten reichen. Um Populationen unterschiedlichster Größe, etwa von diesem Jahr oder vom letzten, miteinander vergleichen zu können, verwenden die Mathematiker einen nützlichen Trick, nämlich die "Normierung". Dabei wird die Größe der Population durch eine Zahl dargestellt, die zwischen 0 und 1 variieren kann. Dies bedeutet, dass nicht die tatsächliche Populationszahl für die Berechnung wesentlich ist, sondern die relative, also das Verhältnis der Populationen zueinander. 1 stünde demnach für die gesamte größtmögliche Population (100 %), 0,5 für den halben Wert. Dadurch wird das mathematische Vorgehen wesentlich vereinfacht.
Das Verhulst - Gesetz kann folgendermaßen formuliert werden:
Xn+1 = (1 + r) Xn wobei "n" für die Zeiteinheit, wie Zahl der Jahre oder Generationenzahl steht und "r" für die Wachstumsrate, welche von den umgebenden ökologischen Bedingungen abhängig ist. Da diese jedoch mit der Populationsgröße ständig rückgekoppelt ist, sieht die Formel dann folgendermaßen aus: Xn+1 =(1 +r) Xn - rXn 2
Liegt der Wert der Wachstumsrate "r" bei 1,0, dann bedeutet dies, dass es zu keinem Wachstum kommt, also ein Stillstand besteht. Liegt der Wert von "r" unterhalb von 1 dann bedeutet dies ein negatives Wachstum, also eine Abnahme der Populationsgröße. Nur bei einem "r"-Wert über 1 liegt Wachstum vor.
Das Diagramm links oben demonstriert die Situation bei einem "r"-Wert von 1,8. Liegt der Wachstumswert "r" bei 2,3, dann tritt ein Verhalten wie rechts oben ein, das System beginnt zu oszillieren. Ab einem "r"-Wert von 2,5, der links unten dargestellt ist, spaltet sich die Oszillation im Sinne einer Periodenverdoppelung auf. Rechts unten ist das Systemverhalten abgebildet. welches ab einem "r"-Wert von 2.57 eintritt. Die Darstellung entspricht einem chaotischen Systemverhalten.
Dieses dynamische Verhalten des Verhulst Modells macht es auch möglich, die Bifurkationspunkte zwischen den einzelnen Ordnungszuständen eines Systems und den Obergang in ein chaotisches Verhalten deutlich zu machen, da bei einer langfristigen Zunahme des Wachstumswertes "r" ein Bifurkationsdiagramm oder eine Feigenbaum - Kaskade entsteht. Dieses Verhulst Modell ist in verschiedenen Systembereichen anwendbar.